LIMIT SEBUAH FUNGSI
FUNGSI EKSPONENSIAL
merupakan
salah satu fungsi yang penting dan sering digunakan dalam matematika. Biasanya,
fungsi ini ditulis dengan notasi exp(𝑥) atau 𝑒
𝑥
, dimana 𝑒 adalah basis logaritma natural.
Fungsi tersebut telah banyak
diteliti yang menghasilkan beberapa definisi dalam bentuk yang berbeda. Untuk
mendefinisikan fungsi eksponensial dalam bentuk limit digunakan barisan fungsi 𝑓𝑛
(𝑥)
= (1 + 𝑥
𝑛
) 𝑛
jika 𝑛
≥ 𝑛0
serta 𝑔𝑛
(𝑥)
= (1 − 𝑥
𝑛
) −𝑛
jika 𝑛
≥ 𝑚0
, yang dikaji kekonvergenannya dengan memanfaatkan beberapa teorema limit dan
lemma yang ada. Alvaro H. Salas berhasil mendefinisikan fungsi eksponensial ke
dalam bentuk limit, yang kemudian akan dikaji kembali di dalam studi literatur
ini beserta analisis sifat-sifatnya dan juga pendefinisian fungsi logaritma
dalam bentuk limit.
Fungsi eksponensial telah banyak
diteliti oleh para ahli matematika. Dari penelitian-penelitian yang telah
dilakukan, dihasilkan beberapa definisi dalam bentuk yang berbeda dari fungsi
eksponensial. Salah satu diantaranya adalah pendefinisan fungsi eksponensial
dalam bentuk deret yaitu 𝑒 𝑥 = ∑ 𝑥
𝑛
𝑛!
∞ 𝑛=0
, selain itu terdapat definisi eksponensial sebagai invers dari fungsi
logaritma natural ln(𝑥) = ∫ 1 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
1 .
Untuk mengkaji dua barisan fungsi
{𝑓𝑛(𝑥)}𝑛=1
∞ dan {𝑔𝑛(𝑥)}𝑛=1
∞ yang didefinisikan sebagai berikut: 𝑓𝑛 (𝑥)
= 0 jika 𝑛 < 𝑛0 dan 𝑓𝑛
(𝑥)
= (1 + 𝑥
𝑛
) 𝑛
jika 𝑛
≥ 𝑛0
serta 𝑔𝑛
(𝑥)
= 0 jika 𝑛 < 𝑚0 dan 𝑔𝑛
(𝑥)
= (1 − 𝑥
𝑛
) −𝑛
jika 𝑛
≥ 𝑚0.
Dengan menggunakan beberapa lemma dan teorema yang ada, barisan fungsi tersebut
akan mengarah kepada pendefinisian fungsi eksponensial dalam bentuk limit.
Adapun fungsi eksponensial dan logaritma itu sendiri dibatasi hanya dalam basis
𝑒.
Bilangan natural (e) memiliki
besar
e
= 2,71828182845904523536028747135……
Bilangan
ini bisa diperoleh dari
Jika e disubtitusi dengan 1
maka
Akan tetapi, sebenarnya
bilangan natural didefinisikan sebagai
