L I M I T

LIMIT SEBUAH FUNGSI

FUNGSI EKSPONENSIAL

merupakan salah satu fungsi yang penting dan sering digunakan dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(𝑥) atau 𝑒 𝑥 , dimana 𝑒 adalah basis logaritma natural.

Fungsi tersebut telah banyak diteliti yang menghasilkan beberapa definisi dalam bentuk yang berbeda. Untuk mendefinisikan fungsi eksponensial dalam bentuk limit digunakan barisan fungsi 𝑓𝑛 (𝑥) = (1 + 𝑥 𝑛 ) 𝑛 jika 𝑛 ≥ 𝑛0 serta 𝑔𝑛 (𝑥) = (1 − 𝑥 𝑛 ) −𝑛 jika 𝑛 ≥ 𝑚0 , yang dikaji kekonvergenannya dengan memanfaatkan beberapa teorema limit dan lemma yang ada. Alvaro H. Salas berhasil mendefinisikan fungsi eksponensial ke dalam bentuk limit, yang kemudian akan dikaji kembali di dalam studi literatur ini beserta analisis sifat-sifatnya dan juga pendefinisian fungsi logaritma dalam bentuk limit.

Fungsi eksponensial telah banyak diteliti oleh para ahli matematika. Dari penelitian-penelitian yang telah dilakukan, dihasilkan beberapa definisi dalam bentuk yang berbeda dari fungsi eksponensial. Salah satu diantaranya adalah pendefinisan fungsi eksponensial dalam bentuk deret yaitu 𝑒 𝑥 = ∑ 𝑥 𝑛 𝑛! ∞ 𝑛=0 , selain itu terdapat definisi eksponensial sebagai invers dari fungsi logaritma natural ln(𝑥) = ∫ 1 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 1 .

Untuk mengkaji dua barisan fungsi {𝑓𝑛(𝑥)}𝑛=1 ∞ dan {𝑔𝑛(𝑥)}𝑛=1 ∞ yang didefinisikan sebagai berikut: 𝑓𝑛 (𝑥) = 0 jika 𝑛 < 𝑛0 dan 𝑓𝑛 (𝑥) = (1 + 𝑥 𝑛 ) 𝑛 jika 𝑛 ≥ 𝑛0 serta 𝑔𝑛 (𝑥) = 0 jika 𝑛 < 𝑚0 dan 𝑔𝑛 (𝑥) = (1 − 𝑥 𝑛 ) −𝑛 jika 𝑛 ≥ 𝑚0. Dengan menggunakan beberapa lemma dan teorema yang ada, barisan fungsi tersebut akan mengarah kepada pendefinisian fungsi eksponensial dalam bentuk limit. Adapun fungsi eksponensial dan logaritma itu sendiri dibatasi hanya dalam basis 𝑒.

Bilangan natural (e) memiliki besar

e = 2,71828182845904523536028747135……

Bilangan ini bisa diperoleh dari

Jika e disubtitusi dengan 1 maka

Akan tetapi, sebenarnya bilangan natural didefinisikan sebagai

FUNGSI & GRAFIKNYA

NILAI MUTLAK

Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah himpunan bilangan yang memenuhi sifat urutan bilangan tertentu. Pertidaksamaan dinyatakan dengan salah satu tanda dari lambang berikut : > ³ £ <.

Sifat-sifat

 1. Arti pertidaksamaan tidak akan berubah apabila tiap-tiap ruas/sisi ditambah atau dikurangi dengan bilangan nyata yang sama. Hal ini mengakibatkan bahwa sembarang suku bisa dipindahkan dari satu sisi ke sisi lain dalam suatu pertidaksamaan, dengan syarat tanda suku diubah.

2. Arti sebuah pertidaksamaan tidak berubah apabila tiap sisi dikalikan atau dibagi dengan bilangan positip yang sama.

3. Arti sebuah pertidaksamaan berubah apabila tiap-tiap sisi dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatip yang sama.

4. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama :

Jika a < b maka:

a + c < b + c

a – c < b – c

Bentuk Pertidaksamaan

Jenis-jenis Bilangan

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Bilangan banyak yang menyamakan arti dengan angka atau nomor. sebenarnya 

Angka merupakan sebuah simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan. Sedangkan 

Nomor adalah suatu istilah yang digunakan untuk menunjuk pada satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yang berurutan. seperti contohnya “nomor 10” maka akan merujuk ke bilangan dengan angka 10 dalam susunan bilangan bulat.

1. Bilangan Asli

Bilangan Asli adalah bilangan bulat yang dimulai dari satu.

Nama lain dari bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif (integer positif).

yang termasuk bilangan ini adalah : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ….

2. Bilangan Negatif

(integer negatif) adalah bilangan yang lebih kecil/ kurang dari nol. Atau juga bisa dikatakan bilangan yang letaknya disebelah kiri nol pada garis bilangan.

Contoh :

{-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, …}

3. Bilangan Bulat

Bilangan Bulat adalah semua bilangan bukan pecahan. Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan asli, bilangan nol dan bilangan negatif.

Contoh :

{…., -5,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ….}

4. Bilangan Cacah

Bilangan Cacah adalah bilangan bulat yang dimulai dari nol.

yang termasuk bilangan ini adalah : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ….

5. Bilangan Ganjil

Bilangan Ganjil adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi dua.

Contoh : Bilangan 1, 3, 5, 7, 11, 17, 21, 31,… dll.

6. Bilangan Genap

Bilangan Genap adalah bilangan bulat yang habis dibagi dua.

Contoh : Bilangan 2, 4, 6, 8, 10, 14, 20,… dll.

7. Bilangan Prima

Bilangan Prima adalah bilangan bulat lebih dari satu yang hanya bisa terbagi habis oleh 1 dan bilangan itu sendiri.

Contoh : Bilangan 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,… dll.

8. Bilangan Pecahan

Bilangan Pecahan adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk  a/b dengan “a” adalah bilangan pembilang dan “b” adalah bilangan penyebut. Dengan “b” tidak boleh sama dengan nol. 

Contoh : Bilangan  1/2, 2/5, 2/3, 4/11. dll

9. Bilangan Real

Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk desimal. Bilangan real mencakup bilangan rasional dan irasional.

Contoh : 2,5   0,1759  

Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”.

Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R(berasal dari kata “real”).

10. Bilangan Imajiner

Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i2 = −1. Bilangan ini merupakan bagian dari bilangan kompleks. Secara definisi, bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik :

   x2 + 1 = 0

atau secara ekuivalen

   x2 = -1

atau juga sering dituliskan sebagai    x = √-1

11. Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang merupakan rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan dengan a/b, dimana a merupakan himpunan bilangan bulat dan b merupakan himpunan bilangan bulat tetapi tidak sama dengan nol. Bilangan  Rasional  diberi lambang Q (berasal dari bahasa Inggris “quotient”).

Contoh :

{½, ⅓, ⅔, ⅛, ⅜, ⅝, ⅞, …}

12. Bilangan Irasional

Bilangan irrasional merupakan bilangan real yang tidak bisa dibagi atau lebih tepatnya hasil baginya tidak pernah berhenti. Sehingga tidak bisa dinyatakan a/b.

Contoh :

π      =          3,141592653358……..

√2    =          1,4142135623……..

e      =          2,71828281284590…….

13. Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk a + bi. Dimana a dan b adalah bilangan real, dan i adalah bilangan imajiner tertentu.

Bilangan real a disebut juga bagian real dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Contoh : {3 + 2i}

14. Bilangan Komposit

Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima.

Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.

Contoh:

{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, …}

15.Bilangan Kuadrat

Pengertian bilangan kuadrat adalah bilangan yang dihasilkan dari perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri sebanyanyak dua kali dan disimbolkan dengan pangkat 2.

Contohnya : K = {22, 32,42,52,62,….}

16.Bilangan Romawi

Pengertian bilangan romawi adalah suatu sistem penomoran yang berasal dari romawi kuno menggunakan huruf latin yang melambangkan angka numerik. Contoh: M = {I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, XI, X, XI,…..}

Diagonalisasi

Suatu matriks bujursangkar A dapat didiagonalisasi jika terdapat sebuah matriks P yang invertible sedemikian sehingga  

Suatu matriks bujursangkar A dapat didiagonalisasi jika terdapat sebuah matriks P yang invertible sedemikian sehingga dcdva adalah suatu matriks diagonal.Matriks P dikatakan mendiagonalisasi A .

Langkah-langkah :

1. Tentukan n vektor eigen dari A yang bebaslinier/ linearly independent

2. Bentuk matriks P yang kolom-kolom nyamerupakan n vektor eigen dari A

3. Bentuk matriks 

4. Bentuk matriks yang merupakan matriks diagonal dengan diagonal utama yanilai-nilai eigen yang bersesuaian dengan vektor-vektor eigen dari A . 

Transformasi Linier

Youtube Channel Transformasi Linier

Transformasi Linear Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F memetakan V ke dalam W, dan kita menuliskan F : V ® W. 


Lebih lanjut lagi, jika F mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita menuliskan w = F(v) dan kita mengatakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F.  Untuk melukiskannya, maka jika v = (x,y) adalah sebuah vektor di dalam R2 , maka rumus : F(v) = ( x , x + y , x - y ) ( 4.1) mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan R2 ke dalam R3 . Khususnya, jika v = (1,1) , maka x = 1 dan y = 1 , sehingga bayangan dari v di bawah F adalah F(v) = (1, 2, 0). 

Definisi.  Jika F : V ® W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dinamakan transformasi linear jika : (i) F(u + v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di dalam V. (ii) F(ku) = k F(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k.
Untuk melukiskannya, misalkan F : R2 ® R3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh (4.1). Jika u = ( x1 , y1 ) dan v = ( x2 , y2 ), maka u + v = ( x1 + x2 , y1 + y2 ), sehingga : F(u + v) = (x1 +x2 , [x1 + x2] + [y1 + y2], [x1 + x2] - [y1 + y2]) = ( x1 , x1 + y1 , x1 - y1 ) + ( x2 , x2 + y2 ,x2 - y2) F(u + v) = F(u) + F(v) 

Juga , jika k adalah sebuah skalar , k u = (kx1 , ky1 ), sehingga F(k u) = (kx1 , kx1 +ky1 , kx1 - ky1) = k (x1 , x1 +y1 ,x1 - y1) = k F(u) Jadi F adalah sebuah transformasi linear.
 Jika F : V ® W adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v1 dan v2 di dalam V dan sebarang k1 dan k2 , kita memperoleh : F(k1 v1 + k2 v2) = F(k1 v1) + F(k2 v2) = k1 F(v1) + k2 F(v2)  Demikian juga, jika v1 , v2 , … , vn adalah vektor-vektor di dalam V dan k1 , k2 , … , kn adalah skalar, maka : F(k1 v1 + k2 v2 + … + kn vn) = k1 F(v1) + k2 F(v2) + … + kn F(vn) 

Dengan contoh :Misalkan A adalah sebuah matriks m x n yang tetap. Jika kita menggunakan notasi matriks untuk vektor di dalam Rm dan Rn , maka kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi T: Rn ® Rm dengan : T(x) = A x   Perhatikan jika bahwa x adalah sebuah matriks n x 1 , maka hasil kali A x adalah matriks m x 1 ; jadi T memetakan Rn ke dakam Rm . Lagi pula , T linear, untuk melihat ini , misalnya u dan v adalah matriks n x 1 dan misalkan k adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan sifat-sifat perkalaian matriks, maka kita mendapatkan : A (u + v) = A u + A v dan A (k u) = k (A u)atau secara ekivalen :T(u + v) = T(u) + T(v) dan T(k u) = k T(u) Kita akan menamakan transformasi linear di dalam contoh ini perkalian oleh A. Transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks.