Transformasi Linear Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F memetakan V ke dalam W, dan kita menuliskan F : V ® W.
Lebih lanjut lagi, jika F mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita menuliskan w = F(v) dan kita mengatakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F. Untuk melukiskannya, maka jika v = (x,y) adalah sebuah vektor di dalam R2 , maka rumus : F(v) = ( x , x + y , x - y ) ( 4.1) mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan R2 ke dalam R3 . Khususnya, jika v = (1,1) , maka x = 1 dan y = 1 , sehingga bayangan dari v di bawah F adalah F(v) = (1, 2, 0).
Definisi. Jika F : V ® W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dinamakan transformasi linear jika : (i) F(u + v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di dalam V. (ii) F(ku) = k F(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k.
Untuk melukiskannya, misalkan F : R2 ® R3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh (4.1). Jika u = ( x1 , y1 ) dan v = ( x2 , y2 ), maka u + v = ( x1 + x2 , y1 + y2 ), sehingga : F(u + v) = (x1 +x2 , [x1 + x2] + [y1 + y2], [x1 + x2] - [y1 + y2]) = ( x1 , x1 + y1 , x1 - y1 ) + ( x2 , x2 + y2 ,x2 - y2) F(u + v) = F(u) + F(v)
Juga , jika k adalah sebuah skalar , k u = (kx1 , ky1 ), sehingga F(k u) = (kx1 , kx1 +ky1 , kx1 - ky1) = k (x1 , x1 +y1 ,x1 - y1) = k F(u) Jadi F adalah sebuah transformasi linear.
Jika F : V ® W adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v1 dan v2 di dalam V dan sebarang k1 dan k2 , kita memperoleh : F(k1 v1 + k2 v2) = F(k1 v1) + F(k2 v2) = k1 F(v1) + k2 F(v2) Demikian juga, jika v1 , v2 , … , vn adalah vektor-vektor di dalam V dan k1 , k2 , … , kn adalah skalar, maka : F(k1 v1 + k2 v2 + … + kn vn) = k1 F(v1) + k2 F(v2) + … + kn F(vn)
Dengan contoh :Misalkan A adalah sebuah matriks m x n yang tetap. Jika kita menggunakan notasi matriks untuk vektor di dalam Rm dan Rn , maka kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi T: Rn ® Rm dengan : T(x) = A x Perhatikan jika bahwa x adalah sebuah matriks n x 1 , maka hasil kali A x adalah matriks m x 1 ; jadi T memetakan Rn ke dakam Rm . Lagi pula , T linear, untuk melihat ini , misalnya u dan v adalah matriks n x 1 dan misalkan k adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan sifat-sifat perkalaian matriks, maka kita mendapatkan : A (u + v) = A u + A v dan A (k u) = k (A u)atau secara ekivalen :T(u + v) = T(u) + T(v) dan T(k u) = k T(u) Kita akan menamakan transformasi linear di dalam contoh ini perkalian oleh A. Transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar