Basis dan Dimensi

Youtube Channel Basis dan Dimensi

Himpunan vektor-vektor  {v₁, v₂ , … ,v_n}  dikatakan  bebas linear  (linearly independent) jika persamaan   a₁v₁ +  a₂v₂ …  + a_nv_n = 0 mengakibatkan  a₁= a₂ =… = a_n = 0.Himpunan vektor –vektor  { v_1,v₂ , …,v_n } dikatakan tak bebas linear atau  bergantung linear ( linearly dependent)  jika terdapat skalar  a_i ≠ 0 , i = 1, 2,  … , n  sehingga  a₁v₁ + a₂v₂ …  + a_nv_n = 0.

Contohnya : 

Himpunan vektor-vektor  {(2,-1,3), (4,-2,6), (1,2,0)} tidak bebas linear di ³, sebab jika  a(2,-1,3) + 

b(4,-2,6) + c(1,2,0) = (0,0,0) akan menyebabkan 2a+4b+c=0, -a-2b-2c=0, 3a+6b=0. Dari persamaan 

ketiga diperoleh a=-2b, kalau hasil ini disubstitusikan ke persamaan pertama maupun kedua 

menyebabkan c=0. Misal diambil a=1, b=-2, c=0, tentu memenuhi ketiga persamaan tersebut. Ini 

berarti ada a≠ 0, b≠0, dan c=0 yang memenuhi     a(2,-1,3) + b(4,-2,6) + c(1,2,0) = (0,0,0).

Himpunan vektor –vektor {v_1, …, v_n} tak bebas liner jika hanya jika terdapat

 v_i, i =1, 2 , …, n yang merupakan kombinasi  linear dari n-1 vektor yang lain.

Bukti : Vektor –vektor v_{1 ,} …, v_n  tak bebas liner berarti terdapat skalar a_i ¹ 0, i=1,2,...,n dengan  a₁v₁ + a₂v₂ …  + a_nv_n = 0. Tanpa mengurangi keumuman bukti dapat dimisalkan  a₁ ¹ 0. Akibatnya terdapat a₁^-1 ¹ 0 sehingga  v₁ = -a₁^-1a₂v₂  -a₁^-1a₃v₃ -  …  - a₁^-1a_nv_n  . Ini berarti  v₁  merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor  v₂ , v_{3 ,} …, v _n . Sebaliknya, misalkan ada v_i , i=1,2,...,n  adalah kombinasi  linear dari n-1 vektor yang lain. Tanpa mengurangi keumuman bukti misalkan v₁ adalah kombinasi  linear dari  v₂ , v_{3 ,} …, v_n maka terdapat skalar-skalar a₂, a₃, ..., a_n   sehingga  v₁  =  a₂v₂ + a₃v₃  + … + a_nv_n Diperoleh  -v₁ + a₂v₂ + a₃v₃  + … + a_nv_n = 0  Ini berarti  v₁, v_{2 ,} …, v_n  tidak bebas linear. 

Basis

Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika :

~~> S bebas linier

~~> S membangun V 

Dimensi

Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika ruang vektor  V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = {u1, u2,…,un} yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V.

 Himpunan vektor – vektor {v_1, v_{2 ,} …, v_n } disebut basis dari ruang vektor  V, jika :

i.         v_1, v₂ , … , v_n  bebas linear .

ii.       V = span{v₁ , v₂ , … , v_n }.

Banyaknya vektor dalam suatu basis disebut dimensi

  Jika V memuat basis berhingga maka V dikatakan berdimensi hingga , jika tidak maka V     dikatakan berdimensi tak hingga.

Contoh :

Himpunan {(1,1,0),(-2,3,1),(0,1,2)} merupakan basis di ³ sebab :

(i).        {(1,1,0),(-2,3,1),(0,1,2)} bebas linear, yaitu kombinasi linear

          a (1,1,0) + b(-2,3,1) + g(0,1,2) = (0,0,0)  mengakibatkan a=b=g=0.

(ii).      span {(1,1,0),(-2,3,1),(0,1,2)}= ³ sebab untuk sebarang (a,b,c) dapat ditulis

(a,b,c) = ((5a+4b-2c)/9)(1,1,0) + ((-2a+2b-c)/9)(-2,3,1) + ((2a-b+5c)/2)(0,1,2)