Minggu, 30 Desember 2018

Diagonalisasi


Suatu matriks bujursangkar A dapat didiagonalisasi jika terdapat sebuah matriks P yang invertible sedemikian sehingga  

Suatu matriks bujursangkar A dapat didiagonalisasi jika terdapat sebuah matriks P yang invertible sedemikian sehingga dcdva adalah suatu matriks diagonal.Matriks P dikatakan mendiagonalisasi .



Langkah-langkah :
1. Tentukan n vektor eigen dari A yang bebaslinier/ linearly independent
2. Bentuk matriks P yang kolom-kolom nyamerupakan n vektor eigen dari A
3. Bentuk matriks 
4. Bentuk matriks yang merupakan matriks diagonal dengan diagonal utama yanilai-nilai eigen yang bersesuaian dengan vektor-vektor eigen dari A . 



Jumat, 28 Desember 2018

Transformasi Linier

Youtube Channel Transformasi Linier

Transformasi Linear Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F memetakan V ke dalam W, dan kita menuliskan F : V ® W. 


Lebih lanjut lagi, jika F mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita menuliskan w = F(v) dan kita mengatakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F.  Untuk melukiskannya, maka jika v = (x,y) adalah sebuah vektor di dalam R2 , maka rumus : F(v) = ( x , x + y , x - y ) ( 4.1) mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan R2 ke dalam R3 . Khususnya, jika v = (1,1) , maka x = 1 dan y = 1 , sehingga bayangan dari v di bawah F adalah F(v) = (1, 2, 0). 

Definisi.  Jika F : V ® W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dinamakan transformasi linear jika : (i) F(u + v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di dalam V. (ii) F(ku) = k F(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k.
Untuk melukiskannya, misalkan F : R2 ® R3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh (4.1). Jika u = ( x1 , y1 ) dan v = ( x2 , y2 ), maka u + v = ( x1 + x2 , y1 + y2 ), sehingga : F(u + v) = (x1 +x2 , [x1 + x2] + [y1 + y2], [x1 + x2] - [y1 + y2]) = ( x1 , x1 + y1 , x1 - y1 ) + ( x2 , x2 + y2 ,x2 - y2) F(u + v) = F(u) + F(v) 

Juga , jika k adalah sebuah skalar , k u = (kx1 , ky1 ), sehingga F(k u) = (kx1 , kx1 +ky1 , kx1 - ky1) = k (x1 , x1 +y1 ,x1 - y1) = k F(u) Jadi F adalah sebuah transformasi linear.
 Jika F : V ® W adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v1 dan v2 di dalam V dan sebarang k1 dan k2 , kita memperoleh : F(k1 v1 + k2 v2) = F(k1 v1) + F(k2 v2) = k1 F(v1) + k2 F(v2)  Demikian juga, jika v1 , v2 , … , vn adalah vektor-vektor di dalam V dan k1 , k2 , … , kn adalah skalar, maka : F(k1 v1 + k2 v2 + … + kn vn) = k1 F(v1) + k2 F(v2) + … + kn F(vn) 

Dengan contoh :Misalkan A adalah sebuah matriks m x n yang tetap. Jika kita menggunakan notasi matriks untuk vektor di dalam Rm dan Rn , maka kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi T: Rn ® Rm dengan : T(x) = A x   Perhatikan jika bahwa x adalah sebuah matriks n x 1 , maka hasil kali A x adalah matriks m x 1 ; jadi T memetakan Rn ke dakam Rm . Lagi pula , T linear, untuk melihat ini , misalnya u dan v adalah matriks n x 1 dan misalkan k adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan sifat-sifat perkalaian matriks, maka kita mendapatkan : A (u + v) = A u + A v dan A (k u) = k (A u)atau secara ekivalen :T(u + v) = T(u) + T(v) dan T(k u) = k T(u) Kita akan menamakan transformasi linear di dalam contoh ini perkalian oleh A. Transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks.














Metode Sarrus

Youtube Channel Metode Sarrus

metode sarrus adalah salah satu cara untuk mencari suatu determinan matriks yang hanya dapat digunakan untuk mencari determinan matriks.

Rumus mencari nya yaitu :

Sehinggah diperoleh |A| yaitu : 






Rabu, 26 Desember 2018

Basis dan Dimensi

Youtube Channel Basis dan Dimensi

Himpunan vektor-vektor  {v1, v2 , … ,vn}  dikatakan  bebas linear  (linearly independent) jika persamaan   a1v1 +  a2v2 …  + anvn = 0 mengakibatkan  a1= a=… = an = 0.Himpunan vektor –vektor  { v1,v2 , …,vn } dikatakan tak bebas linear atau  bergantung linear ( linearly dependent)  jika terdapat skalar  ai ≠ 0 , i = 1, 2,  … , n  sehingga  a1v1 + a2v2 …  + anvn = 0.

Contohnya : 
Himpunan vektor-vektor  {(2,-1,3), (4,-2,6), (1,2,0)} tidak bebas linear di Â3, sebab jika  a(2,-1,3) + 
b(4,-2,6) + c(1,2,0) = (0,0,0) akan menyebabkan 2a+4b+c=0, -a-2b-2c=0, 3a+6b=0. Dari persamaan 
ketiga diperoleh a=-2b, kalau hasil ini disubstitusikan ke persamaan pertama maupun kedua 
menyebabkan c=0. Misal diambil a=1, b=-2, c=0, tentu memenuhi ketiga persamaan tersebut. Ini 
berarti ada a≠ 0, b≠0, dan c=0 yang memenuhi     a(2,-1,3) + b(4,-2,6) + c(1,2,0) = (0,0,0).

Himpunan vektor –vektor {v1, …, vn} tak bebas liner jika hanya jika terdapat
 vi, i =1, 2 , …, n yang merupakan kombinasi  linear dari n-1 vektor yang lain.
Bukti : Vektor –vektor v1 , …, vn  tak bebas liner berarti terdapat skalar ai ¹ 0, i=1,2,...,n dengan  a1v1 + a2v2 …  + anvn = 0. Tanpa mengurangi keumuman bukti dapat dimisalkan  a1 ¹ 0. Akibatnya terdapat a1-1 ¹ 0 sehingga  v1 = -a1-1a2v2  -a1-1a3v3 -  …  - a1-1anvn  . Ini berarti  v1  merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor  v2 , v3 , …, v n . Sebaliknya, misalkan ada vi , i=1,2,...,n  adalah kombinasi  linear dari n-1 vektor yang lain. Tanpa mengurangi keumuman bukti misalkan v1 adalah kombinasi  linear dari  v2 , v3 , …, vn maka terdapat skalar-skalar a2, a3, ..., an   sehingga  v1  =  a2v2 + a3v3  + … + anvDiperoleh  -v1 + a2v2 + a3v3  + … + anvn = 0  Ini berarti  v1, v2 , …, vn  tidak bebas linear. 

Basis
Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u1u2,…,unadalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika :
~~> bebas linier
~~> S membangun V 
Dimensi
Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhinggajika ruang vektor  V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = {u1u2,…,un} yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V.


 Himpunan vektor – vektor {v1, v2 , …, vn } disebut basis dari ruang vektor  V, jika :
i.         v1, v2 , … , vbebas linear .
ii.       V = span{v1 , v2 , … , vn }.
Banyaknya vektor dalam suatu basis disebut dimensi
  Jika V memuat basis berhingga maka V dikatakan berdimensi hingga , jika tidak maka V     dikatakan berdimensi tak hingga.

Contoh :
Himpunan {(1,1,0),(-2,3,1),(0,1,2)} merupakan basis di Â3 sebab :
(i).        {(1,1,0),(-2,3,1),(0,1,2)} bebas linear, yaitu kombinasi linear
          a (1,1,0) + b(-2,3,1) + g(0,1,2) = (0,0,0)  mengakibatkan a=b=g=0.
(ii).      span {(1,1,0),(-2,3,1),(0,1,2)}= Â3 sebab untuk sebarang (a,b,c) dapat ditulis
(a,b,c) = ((5a+4b-2c)/9)(1,1,0) + ((-2a+2b-c)/9)(-2,3,1) + ((2a-b+5c)/2)(0,1,2)




Nilai dan Vektor Eigen

Youtube Channel Nilai dan Vektor Eigen


Nilai Eigen adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n. Sementara vektor Eigen (?) adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri. Definisi tersebut berlaku untuk matriks dengan elemen bilangan real dan akan mengalami pergeseran ketika elemen berupa bilangan kompleks. Untuk setiap nilai Eigen ada pasangan vektor Eigen yang berbeda, namun tidak semua persamaan matriks memiliki nilai Eigen dan vektor Eigen. Nilai Eigen dan vektor Eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, di mana keduanya dapat diterapkan dalam bidang Matematika murni dan Matematika terapan seperti transformasi linear.

Kumpulan pasangan nilai dan vektor Eigen dari suatu matriks berukuran n x n disebut sistem Eigen dari matriks tersebut. Ruang Eigen dari ? merupakan kumpulan vektor Eigen yang berpasangan dengan ? yang digabungkan dengan vektor nol. Istilah Eigen seringkali diganti dengan istilah karakteristik, di mana kata “Eigen” yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti “asli” dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat.

Persamaan dan Polinomial Karakteristik
Persamaan karakteristik dari matriks A adalah persamaan dengan variabel λ yang digunakan untuk perhitungan nilai dan vektor Eigen. Polinomial karakteristik (f(?)) adalah fungsi dengan variabel ? yang membentuk persamaan karakteristik. Persamaan karakteristik bisa diperoleh lewat cara berikut :
A? = ??
A? – ?? = 0
Diketahui sifat identitas matriks di mana vI = v, maka :
(A – ?) ? = 0
(A – ?I)? = 0
Sehingga diperoleh persamaan karakteristik
det ( A – ?I) = 0
Keterangan :
A = matriks n x n
? = nilai Eigen (bernilai skalar)
I = matriks identitas
? = vektor Eigen (vektor kolom n x 1)

Syarat-syarat
Nilai dan vektor Eigen sendiri memiliki beberapa syarat yang harus dipenuhi, yaitu:
( A – ?I ) tidak memiliki invers atau det ( A- ?I ) = 0
? ≠ 0

Bukti
Asumsikan bahwa A memiliki invers . maka berlaku ( v-1)– v = 1
? = ((A – ?I)-1 (A – ?I)) ?
? = ( A – ?I )-1 ((A – ?I)?)
? = (A – ?I )-1 0
? = 0

Dari perhitungan di atas, diperoleh ? = 0 yang bertentangan dengan salah satu syarat. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa kedua syarat saling mempengaruhi dan tidak boleh dilanggar.

Perhitungan Nilai dan Vektor Eigen
Perhitungan nilai dan vektor Eigen tetap menggunakan perhitungan matriks dasar, yaitu penjumlahan matriks dan perkalian matriks. Perhitungan dimulai dengan mencari nilai Eigen, kemudian dengan nilai Eigen diperoleh (dapat berjumlah lebih dari 1 nilai) akan dihitung vektor Eigen untuk masing – masing nilai yang memenuhi persamaan.
Contoh :
Misalkan diketahui suatu matriks A berukuran 3 x 3 dengan nilai seperti di bawah ini.
Untuk mencari nilai Eigen akan digunakan polinomial karakteristik dan persamaan karakteristik dari matriks A. Pertama – tama akan dihitung polinomial karakteristik dari matriks A :

Kemudian nilai Eigen dapat dihitung lewat persamaan karakteristik:
(Persamaan karakteristik dapat difaktorkan menggunakan teorema sisa atau teknik pemfaktoran polinomial lainnya)
Dengan melakukan substitusi nilai Eigen ke dalam persamaan (A – ?I) x = 0 , maka akan diperoleh suatu persamaan baru
Vektor Eigen untuk masing – masing nilai Eigen kemudian dapat ditentukan dengan melakukan operasi baris elementer atau teknik eliminasi sistem persamaan linear lainnya.Sehingga akan diperoleh vektor Eigen untuk ? = 4 adalah




L I M I T

LIMIT SEBUAH FUNGSI FUNGSI EKSPONENSIAL merupakan salah satu fungsi yang penting dan sering digunakan dalam matematika. Biasanya, fu...