Diagonalisasi

Suatu matriks bujursangkar A dapat didiagonalisasi jika terdapat sebuah matriks P yang invertible sedemikian sehingga  

Suatu matriks bujursangkar A dapat didiagonalisasi jika terdapat sebuah matriks P yang invertible sedemikian sehingga dcdva adalah suatu matriks diagonal.Matriks P dikatakan mendiagonalisasi A .

Langkah-langkah :

1. Tentukan n vektor eigen dari A yang bebaslinier/ linearly independent

2. Bentuk matriks P yang kolom-kolom nyamerupakan n vektor eigen dari A

3. Bentuk matriks 

4. Bentuk matriks yang merupakan matriks diagonal dengan diagonal utama yanilai-nilai eigen yang bersesuaian dengan vektor-vektor eigen dari A . 

Transformasi Linier

Youtube Channel Transformasi Linier

Transformasi Linear Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F memetakan V ke dalam W, dan kita menuliskan F : V ® W. 


Lebih lanjut lagi, jika F mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita menuliskan w = F(v) dan kita mengatakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F.  Untuk melukiskannya, maka jika v = (x,y) adalah sebuah vektor di dalam R2 , maka rumus : F(v) = ( x , x + y , x - y ) ( 4.1) mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan R2 ke dalam R3 . Khususnya, jika v = (1,1) , maka x = 1 dan y = 1 , sehingga bayangan dari v di bawah F adalah F(v) = (1, 2, 0). 

Definisi.  Jika F : V ® W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dinamakan transformasi linear jika : (i) F(u + v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di dalam V. (ii) F(ku) = k F(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k.
Untuk melukiskannya, misalkan F : R2 ® R3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh (4.1). Jika u = ( x1 , y1 ) dan v = ( x2 , y2 ), maka u + v = ( x1 + x2 , y1 + y2 ), sehingga : F(u + v) = (x1 +x2 , [x1 + x2] + [y1 + y2], [x1 + x2] - [y1 + y2]) = ( x1 , x1 + y1 , x1 - y1 ) + ( x2 , x2 + y2 ,x2 - y2) F(u + v) = F(u) + F(v) 

Juga , jika k adalah sebuah skalar , k u = (kx1 , ky1 ), sehingga F(k u) = (kx1 , kx1 +ky1 , kx1 - ky1) = k (x1 , x1 +y1 ,x1 - y1) = k F(u) Jadi F adalah sebuah transformasi linear.
 Jika F : V ® W adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v1 dan v2 di dalam V dan sebarang k1 dan k2 , kita memperoleh : F(k1 v1 + k2 v2) = F(k1 v1) + F(k2 v2) = k1 F(v1) + k2 F(v2)  Demikian juga, jika v1 , v2 , … , vn adalah vektor-vektor di dalam V dan k1 , k2 , … , kn adalah skalar, maka : F(k1 v1 + k2 v2 + … + kn vn) = k1 F(v1) + k2 F(v2) + … + kn F(vn) 

Dengan contoh :Misalkan A adalah sebuah matriks m x n yang tetap. Jika kita menggunakan notasi matriks untuk vektor di dalam Rm dan Rn , maka kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi T: Rn ® Rm dengan : T(x) = A x   Perhatikan jika bahwa x adalah sebuah matriks n x 1 , maka hasil kali A x adalah matriks m x 1 ; jadi T memetakan Rn ke dakam Rm . Lagi pula , T linear, untuk melihat ini , misalnya u dan v adalah matriks n x 1 dan misalkan k adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan sifat-sifat perkalaian matriks, maka kita mendapatkan : A (u + v) = A u + A v dan A (k u) = k (A u)atau secara ekivalen :T(u + v) = T(u) + T(v) dan T(k u) = k T(u) Kita akan menamakan transformasi linear di dalam contoh ini perkalian oleh A. Transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks.

Metode Sarrus

Youtube Channel Metode Sarrus

metode sarrus adalah salah satu cara untuk mencari suatu determinan matriks yang hanya dapat digunakan untuk mencari determinan matriks.

Rumus mencari nya yaitu :

Sehinggah diperoleh |A| yaitu : 

Basis dan Dimensi

Youtube Channel Basis dan Dimensi

Himpunan vektor-vektor  {v₁, v₂ , … ,v_n}  dikatakan  bebas linear  (linearly independent) jika persamaan   a₁v₁ +  a₂v₂ …  + a_nv_n = 0 mengakibatkan  a₁= a₂ =… = a_n = 0.Himpunan vektor –vektor  { v_1,v₂ , …,v_n } dikatakan tak bebas linear atau  bergantung linear ( linearly dependent)  jika terdapat skalar  a_i ≠ 0 , i = 1, 2,  … , n  sehingga  a₁v₁ + a₂v₂ …  + a_nv_n = 0.

Contohnya : 

Himpunan vektor-vektor  {(2,-1,3), (4,-2,6), (1,2,0)} tidak bebas linear di ³, sebab jika  a(2,-1,3) + 

b(4,-2,6) + c(1,2,0) = (0,0,0) akan menyebabkan 2a+4b+c=0, -a-2b-2c=0, 3a+6b=0. Dari persamaan 

ketiga diperoleh a=-2b, kalau hasil ini disubstitusikan ke persamaan pertama maupun kedua 

menyebabkan c=0. Misal diambil a=1, b=-2, c=0, tentu memenuhi ketiga persamaan tersebut. Ini 

berarti ada a≠ 0, b≠0, dan c=0 yang memenuhi     a(2,-1,3) + b(4,-2,6) + c(1,2,0) = (0,0,0).

Himpunan vektor –vektor {v_1, …, v_n} tak bebas liner jika hanya jika terdapat

 v_i, i =1, 2 , …, n yang merupakan kombinasi  linear dari n-1 vektor yang lain.

Bukti : Vektor –vektor v_{1 ,} …, v_n  tak bebas liner berarti terdapat skalar a_i ¹ 0, i=1,2,...,n dengan  a₁v₁ + a₂v₂ …  + a_nv_n = 0. Tanpa mengurangi keumuman bukti dapat dimisalkan  a₁ ¹ 0. Akibatnya terdapat a₁^-1 ¹ 0 sehingga  v₁ = -a₁^-1a₂v₂  -a₁^-1a₃v₃ -  …  - a₁^-1a_nv_n  . Ini berarti  v₁  merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor  v₂ , v_{3 ,} …, v _n . Sebaliknya, misalkan ada v_i , i=1,2,...,n  adalah kombinasi  linear dari n-1 vektor yang lain. Tanpa mengurangi keumuman bukti misalkan v₁ adalah kombinasi  linear dari  v₂ , v_{3 ,} …, v_n maka terdapat skalar-skalar a₂, a₃, ..., a_n   sehingga  v₁  =  a₂v₂ + a₃v₃  + … + a_nv_n Diperoleh  -v₁ + a₂v₂ + a₃v₃  + … + a_nv_n = 0  Ini berarti  v₁, v_{2 ,} …, v_n  tidak bebas linear. 

Basis

Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika :

~~> S bebas linier

~~> S membangun V 

Dimensi

Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika ruang vektor  V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = {u1, u2,…,un} yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V.

 Himpunan vektor – vektor {v_1, v_{2 ,} …, v_n } disebut basis dari ruang vektor  V, jika :

i.         v_1, v₂ , … , v_n  bebas linear .

ii.       V = span{v₁ , v₂ , … , v_n }.

Banyaknya vektor dalam suatu basis disebut dimensi

  Jika V memuat basis berhingga maka V dikatakan berdimensi hingga , jika tidak maka V     dikatakan berdimensi tak hingga.

Contoh :

Himpunan {(1,1,0),(-2,3,1),(0,1,2)} merupakan basis di ³ sebab :

(i).        {(1,1,0),(-2,3,1),(0,1,2)} bebas linear, yaitu kombinasi linear

          a (1,1,0) + b(-2,3,1) + g(0,1,2) = (0,0,0)  mengakibatkan a=b=g=0.

(ii).      span {(1,1,0),(-2,3,1),(0,1,2)}= ³ sebab untuk sebarang (a,b,c) dapat ditulis

(a,b,c) = ((5a+4b-2c)/9)(1,1,0) + ((-2a+2b-c)/9)(-2,3,1) + ((2a-b+5c)/2)(0,1,2)

Nilai dan Vektor Eigen

Youtube Channel Nilai dan Vektor Eigen

Nilai Eigen adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n. Sementara vektor Eigen (?) adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri. Definisi tersebut berlaku untuk matriks dengan elemen bilangan real dan akan mengalami pergeseran ketika elemen berupa bilangan kompleks. Untuk setiap nilai Eigen ada pasangan vektor Eigen yang berbeda, namun tidak semua persamaan matriks memiliki nilai Eigen dan vektor Eigen. Nilai Eigen dan vektor Eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, di mana keduanya dapat diterapkan dalam bidang Matematika murni dan Matematika terapan seperti transformasi linear.

Kumpulan pasangan nilai dan vektor Eigen dari suatu matriks berukuran n x n disebut sistem Eigen dari matriks tersebut. Ruang Eigen dari ? merupakan kumpulan vektor Eigen yang berpasangan dengan ? yang digabungkan dengan vektor nol. Istilah Eigen seringkali diganti dengan istilah karakteristik, di mana kata “Eigen” yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti “asli” dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat.

Persamaan dan Polinomial Karakteristik
Persamaan karakteristik dari matriks A adalah persamaan dengan variabel λ yang digunakan untuk perhitungan nilai dan vektor Eigen. Polinomial karakteristik (f(?)) adalah fungsi dengan variabel ? yang membentuk persamaan karakteristik. Persamaan karakteristik bisa diperoleh lewat cara berikut :
A? = ??
A? – ?? = 0
Diketahui sifat identitas matriks di mana vI = v, maka :
(A – ?) ? = 0
(A – ?I)? = 0
Sehingga diperoleh persamaan karakteristik
det ( A – ?I) = 0
Keterangan :
A = matriks n x n
? = nilai Eigen (bernilai skalar)
I = matriks identitas
? = vektor Eigen (vektor kolom n x 1)

Syarat-syarat
Nilai dan vektor Eigen sendiri memiliki beberapa syarat yang harus dipenuhi, yaitu:
( A – ?I ) tidak memiliki invers atau det ( A- ?I ) = 0
? ≠ 0
Bukti
Asumsikan bahwa A memiliki invers . maka berlaku ( v-1)– v = 1
? = ((A – ?I)-1 (A – ?I)) ?
? = ( A – ?I )-1 ((A – ?I)?)
? = (A – ?I )-1 0
? = 0
Dari perhitungan di atas, diperoleh ? = 0 yang bertentangan dengan salah satu syarat. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa kedua syarat saling mempengaruhi dan tidak boleh dilanggar.

Perhitungan Nilai dan Vektor Eigen
Perhitungan nilai dan vektor Eigen tetap menggunakan perhitungan matriks dasar, yaitu penjumlahan matriks dan perkalian matriks. Perhitungan dimulai dengan mencari nilai Eigen, kemudian dengan nilai Eigen diperoleh (dapat berjumlah lebih dari 1 nilai) akan dihitung vektor Eigen untuk masing – masing nilai yang memenuhi persamaan.
Contoh :
Misalkan diketahui suatu matriks A berukuran 3 x 3 dengan nilai seperti di bawah ini.

Untuk mencari nilai Eigen akan digunakan polinomial karakteristik dan persamaan karakteristik dari matriks A. Pertama – tama akan dihitung polinomial karakteristik dari matriks A :

Kemudian nilai Eigen dapat dihitung lewat persamaan karakteristik:

(Persamaan karakteristik dapat difaktorkan menggunakan teorema sisa atau teknik pemfaktoran polinomial lainnya)

Dengan melakukan substitusi nilai Eigen ke dalam persamaan (A – ?I) x = 0 , maka akan diperoleh suatu persamaan baru

Vektor Eigen untuk masing – masing nilai Eigen kemudian dapat ditentukan dengan melakukan operasi baris elementer atau teknik eliminasi sistem persamaan linear lainnya.Sehingga akan diperoleh vektor Eigen untuk ? = 4 adalah

Metode Cramer

Yotube Channel Metode Crammer

Berikut ini adalah penjelasan cara menyelesaikan sebuah sistem persamaan linear dengan menggunakan metode cramer. Jika AX = B  adalah sistem yang terdiri dari m persamaan linear dalam n variabel sehingga det (A) ≠ 0 , maka sistem  tersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah :

X1 = det (A1) / det (A)

X2 = det (A2) / det (A)

Xn = det (An) / det (A)

Dimana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan entri-entri dalam kolom ke – j dari A dengan entri – entri dalam matriks koefisien B.

Contoh :

Tentulan himpunan penyelesaian dari pesamaan : 

 dengan cara cramer

penyelesaian :

Eliminasi Gauss-Jordan

Youtube Channel Eliminasi Gauss Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.

Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.

Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah

1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.

2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi

Contoh :

selesaikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

Langkah – langkah penyelesaian dengan metode eliminasi gauss-jordan

1. Matriks augmentasi dari sistem persamaan linear di atas adalah
   
2. Menerapkan OBE sehingga diperoleh bentuk eselon baris tereduks sebagai berikut :
   
   
   
   
3. Matriks terakhir ini dikatakan dalam bentuk eselon baris.
4. Jadi penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah :z = 3,y + z = 5, sehingga  y = 2, danx + 2y + z = 8, sehingga x = 1.

Eliminasi Gauss

Youtube Channel Eliminasi Gauss

---

Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Ciri ciri Metode Gauss adalah 

1. -Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)
2. -Baris nol terletak paling bawah 
3. -1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya
4. -Dibawah 1 utama harus nol
5. Contoh :
6. Tentukan penyelesaian dari SPL berikut 
   

   

   Penyelesaian :

   

   
7.