Metode Cramer

Yotube Channel Metode Crammer

Berikut ini adalah penjelasan cara menyelesaikan sebuah sistem persamaan linear dengan menggunakan metode cramer. Jika AX = B  adalah sistem yang terdiri dari m persamaan linear dalam n variabel sehingga det (A) ≠ 0 , maka sistem  tersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah :

X1 = det (A1) / det (A)

X2 = det (A2) / det (A)

Xn = det (An) / det (A)

Dimana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan entri-entri dalam kolom ke – j dari A dengan entri – entri dalam matriks koefisien B.

Contoh :

Tentulan himpunan penyelesaian dari pesamaan : 

 dengan cara cramer

penyelesaian :

Eliminasi Gauss-Jordan

Youtube Channel Eliminasi Gauss Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.

Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.

Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah

1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.

2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi

Contoh :

selesaikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

Langkah – langkah penyelesaian dengan metode eliminasi gauss-jordan

1. Matriks augmentasi dari sistem persamaan linear di atas adalah
   
2. Menerapkan OBE sehingga diperoleh bentuk eselon baris tereduks sebagai berikut :
   
   
   
   
3. Matriks terakhir ini dikatakan dalam bentuk eselon baris.
4. Jadi penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah :z = 3,y + z = 5, sehingga  y = 2, danx + 2y + z = 8, sehingga x = 1.

Eliminasi Gauss

Youtube Channel Eliminasi Gauss

---

Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Ciri ciri Metode Gauss adalah 

1. -Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)
2. -Baris nol terletak paling bawah 
3. -1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya
4. -Dibawah 1 utama harus nol
5. Contoh :
6. Tentukan penyelesaian dari SPL berikut 
   

   

   Penyelesaian :

   

   
7. 
   

PARTISI MATRIKS

Youtube Channel Partisi Matriks

Matriks partisi adalah membagi matriks menjadi beberapa matriks yang ukurannya lebih kecil dengan memasukan garis horizontal dan vertikal antara baris dan kolom matriks.

Matriks-matriks yang ukurannya kecil hasil partisi matriks disebut sub matriks.

Partisi matriks digunakan untuk menyederhanakan matriks yang ukurannya besar menjadi matriks kecil sehingga lebih mudah dioperasikan untuk tujuan tertentu.

Setiap sub matriks hasil partisi selalu dapat dikembalikan ke dalam matriks asalnya.

Diberikan contoh =

Solusi :

Jadikan Z₁ menjadi matriks (m + n ) x (p + q) dan Z₂ matriks (p +q) x (r + s) , sehingga A₁ merupakan aturan m × p dan A₂ merupakan aturan p × r. Kemudian semua submatriks didefinisikan dengan baik. Dengan aturan perkalian matriks biasa kita mmpunyai

Perkalian Elementer Matriks

Youtube  Channel Elementer Matriks

DEFINISI ELEMENTER MATRIKS

(1). Matrik elementer adalah matrik yang diperoleh dari operasi elementer yang dikenakan pada matrik identitas.

(2). Setiap matrik elementer mempunyai invers, dan setiap matrik bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers ekivalen baris terhadap matrik identitas I.

(3). Akibatnya, jika :

       EkEk–1Ek–2 …E2E1A = I, maka,

         A–1 = EkEk–1Ek–2 …E2E1

Matrik elementer E diperoleh dari transformasi matrik identitas dimana pada kolom ke-I diganti dengan normalitas vektor kolom :

ADJOINT

Youtube Channel Invers Metode Adjoint

Kofaktor dari suatu matriks itu adalah suatu keadaan dari elemen-elemen matriks yang telah diminor matrikan yang menyatakan bahwa "apakah elemen bernilai positif atau negatif pada suatu letak tertentu apabila dikofaktorkan".

Untuk menentukan kofaktor matriks harus dicari dengan rumus berikut ini :

Keterangan :

KE : Kofaktor Elemen Matriks
a : Baris ke-a
b : Kolom ke-b
NE : Nilai elemen Minor Matriks

Contoh :

Tentukan kofaktor dari minor matriks berikut ini :

Jawaban :

Maka kofaktornya adalah :

Adjoint matriks merupakan transpose dari matriks kofaktor. Adjoint sering disingkat dengan adj. Misalkan matriks A, maka adjoint A ditulis Adj (A). Tranpose sendiri maksudnya adalah pertukaran elemen pada baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris. Adjoit matriks digunakan dalam menenrukan invers matriks.

Contoh :

Pertama kita tentukan adjoint dari kofaktor berikut

KE₁₁ = 2
KE₁₂ = 3
KE₁₃ = 5
KE₂₁ = 1
KE₂₂ = 6
KE₂₃ = 3
KE₃₁ = -2
KE₃₂ = 1
KE₃₃ = -4

Selanjutnya ubah  kofaktor yang ada ke dalam bentuk matriks 

Bentuk transposenya adalah

OPERASI BILANGAN ELEMENTER

Youtube Channel Operasi Baris Elementer

ADA 3 CARA MENCARI OPERASI BILANGAN ELEMENTER

1.Menukarkan 1 baris dengan baris lainnya.

2.Mengalikan sebuah baris dengan bilangan bukan 0(nol).

3.Menjumlahkan kelipatan sebuah baris dengan baris lainnya.

CONTOH :

METODE DOLITTLE

youtube channel (Metode Doolittle)

Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Doolittle adalah

 Kasus n=3

 Rumus Perhitungannya

 KASUS n=4 : METODE DOOLITTLE

 Rumus iterasi perhitungannya adalah

Contoh

METODE CROUT

YOUTUBE CHANNEL Metode Crout

Dekomposisi Matriks Crout adalah dekomposisi LU yang terurai sebuah matriks menjadi matriks segitiga bawah (L), sebuah matriks segitiga atas (U) dan, meskipun tidak selalu diperlukan, matriks permutasi (P).

Rumus umum untuk mencari matriks L (matriks segitiga bawah) dan matriks U (matriks segitiga atas) dengan metode Crout :

Matriks n=3 :

Rumus iterasi perhitungan untuk matriks n=3 :

Matriks n=4 :

Contoh soal 

Jawaban =

Jadi

Det (L) = 2 -4 2.125 = -17

Det (U) = 1

Det (A) = det (L) det (U) = -17  , 1 = -17

D E T E R M I N A N

Yotube Channel Determinan

Syarat suatu matriks dapat dicari determinannya adalah matriks tersebut harus merupakan matriks persegi

Sifat-Sifat Determinan Matriks

1. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan nol maka determinan matriks itu nol.

2. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol.

(Karena elemen-elemen baris ke-1 dan ke-3 sama).

3. Jika elemen-elemen salah satu baris/kolom merupakan kelipatan dari elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol. 

(Karena elemen-elemen baris ke-3 sama dengan kelipatan elemen-elemen baris ke-1).

4. |AB| = |A| ×|B|

5. |AT| = |A|, untuk AT adalah transpose dari matriks A.

6. |kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k suatu konstanta. Sifat-sifat di atas tidak dibuktikan di sini. Pembuktian sifat-sifat ini akan kalian pelajari di jenjang yang lebih tinggi.

• a. Determinan Matriks Ordo 2 × 2

Misalkan A = adalah matriks yang berordo 2 × 2 dengan elemen a dan d terletak pada diagonal utama pertama, sedangkan b dan c terletak pada diagonal kedua. Determinan matriks A dinotasikan ”det A” atau |A| adalah suatu bilangan yang diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.

Dengan demikian, dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut.

det A == ad – bc

Contoh Soal 

Tentukan determinan matriks-matriks berikut.

a.  b.

Penyelesaian :

a. det A = = (5 × 3) – (2 × 4) = 7

b. det B = = ((–4) × 2) – (3 × (–1)) = – 5

• Determinan Matriks Ordo 3 × 3 

Jika A = adalah matriks persegi berordo 3 × 3, determinan A 

 dinyatakan dengan det A =